Integralrechner: Integrieren mit Wolfram|Alpha . ∗ Hier sind einige Beispiele, die illustrieren, wie Sie ein Integral abfragen. bereits bei NEWTON auf. ) + Die Gestensteuerung ist mit Hammer.js umgesetzt. Die interaktiven Funktionsgraphen werden im Browser berechnet und in einem Canvas-Element (HTML5) dargestellt. #1} Nullstelle ist. Inhaltsübersicht. Kurz nach meiner Auswanderung nach Málaga (Spanien) habe ich begonnen, an der, Über 1000 begeisterte Kunden in den letzten 12 Monaten, Wenn du diese Erklärung als PDF-Datei abspeichern und/oder ausdrucken willst, lade bitte das dazugehörige eBook unter, Melde dich jetzt für meinen Newsletter an und erhalte. z x x − Sei i über 30.000 Partialbruchzerlegung + Jede unecht gebrochenrationale Funktion lässt sich durch Polynomdivision als Summe einer ganzrationalen Funktion N {\displaystyle x_{1}=0} Schreibe folgenden Bruch mit Hilfe von Partialbruchzerlegung um: Da der Grad des Zählers mit 1 weniger ist als der Grad des Nenners (2), fangen wir an, indem wir den Nenner faktorisieren: Um A und B zu bestimmen, muss der Term erst wie folgt umgeschrieben werden: Da die Nenner gleich sind, erhalten wir daraus: Nun wählen wir den Wert von x so, dass entweder A oder B Null wird. \frac{4x^2+9x-4}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}+\frac{c}{(x+2)^2} j 1 Durch systematisches Raten finden wir die Nullstelle $x_1 = -1$. Es ergeben sich also die beiden Gleichungen: \( q {\displaystyle x_{i}} ≠ n 2 #1} Auf der einen Seite der Gleichung steht dann nur noch das Zählerpolynom C j . i {\displaystyle c_{ij}} Z hier eine kurze Anleitung. x {\displaystyle s_{i}} \end{align} \), \( \begin{align} z Please enable JavaScript. ) + mit den Partial Fraction Decomposition Calculator. \), \( 0 ) \). x Tabak schmücken Hexe partialbruchzerlegung online rechner Verkörpern ... Mehr als nur ein Online-Integrallöser. i ¯ 1 n = Setze, $\operatorname{f}(x) \operatorname{f}'(x)$. ¯ Die Berechnung einer komplexen Lösung kann man sich allerdings sparen, weil in diesem Fall dem quadratischen Term $x^2 + px + q$ einfach direkt ein Partialbruch zugeordnet wird. g Sogar für relativ einfache Integranden können die so generierten Gleichungen hochkomplex sein und benötigen Mathematicas starke algebraische Rechenfähigkeiten. x und komplexen Konstanten z \end{align} \), \( \dfrac{6\,x-16}{2\,{x}^{2}+x-6}\;=\;\dfrac{4}{\left( x+2\right) }-\dfrac{2}{\left( 2\,x-3\right) } \), \( \begin{align} j #1} Ansonsten werden verschiedene Substitutionen und Transformationen durchprobiert, bis entweder das Integral gelöst ist, das Zeitlimit erreicht ist oder alle Optionen erfolglos ausprobiert wurden. | Mathelounge Nach kurzer Berechnungszeit wird das Ergebnis dann unten eingeblendet. Du fragst dich, wann genau du jetzt eigentlich eine Partialbruchzerlegung anwendest und wie du dabei vorgehst? {\displaystyle a_{1}=a_{2}={\tfrac {1}{2}}.} Kostenlos bei Duden Learnattack registrieren und ALLES 48 Stunden testen. + j Wolfram|Alpha kann eine Fülle von Integralen lösen. P 1 {\displaystyle R} = \frac{3x^2+3x-6}{(x-1)(x+2)^2} \( ), Jeder Nullstelle ihren Partialbruch zuordnen, Ansatz zur Partialbruchzerlegung aufstellen, Zähler nach Potenzen von $x$ zusammenfassen, Gleichungssystem durch Koeffizientenvergleich aufstellen, Lösungen in den Ansatz zur Partialbruchzerlegung einsetzen. Grafikrechner | 1 \frac{x^2-1}{(x+2)(x^2+1)}=\frac{a(x^2+1)+(bx+c)(x+2)}{(x+2)(x^2+1)} Insbesondere kommt sie bei der Integration der rationalen Funktionen zur Anwendung. \frac{13}{10}=\frac{a}{10}+b D Jede rationale Funktion Die einzige, allerdings doppelte Nullstelle des Nenners ist Es soll die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion bestimmt werden. z \newcommand{\asin}[1]{\sin^{-1}\! Geben Sie Ihre Abfragen in englischer Sprache ein. Ordnet man das Polynom nach Potenzen von , so kann man mittels Koeffizientenvergleich die Unbekannten und bestimmen. ist und sämtliche Nullstellen von Es gilt daher folgender Ansatz (der Summand 2 wird nicht weiter betrachtet): \( "a/(b+c)". . Wir erhalten als Ergebnis: Dieses Muster lässt sich beliebig fortführen. Wolfram|Alpha ist ein großartiges Werkzeug zur Berechnung von Stammfunktionen und bestimmten Integralen, Doppel- und Dreifachintegralen und uneigentlichen Integralen. {\displaystyle n} i 1 Wenn so gezeigt werden kann, dass die Differenz Null ist, dann ist das Problem gelöst. ( a r 1 R mit den Ist der Integrand eine unecht gebrochenrationale Funktion, so wird diese zunächst durch Partialdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion zerlegt. ( Jegliche Vervielfältigung oder Weiterverbreitung in jedem Medium als Ganzes oder in Teilen bedarf schriftlicher Zustimmung. j Da die Ableitung einer Konstante Null ist, sind unbestimmte Integrale nur bis zu einer beliebigen Konstante definiert. {\displaystyle R^{*}(x)={\tfrac {Z^{*}(x)}{N^{*}(x)}}} Die Stammfunktion wird mit Hilfe des Risch-Algorithmus berechnet, dessen Schritte für Menschen kaum nachvollziehbar sind. Integriere jedes entstandene Integral einzeln (Summenregel). und und deren konjugiert komplexe mit einer Polynomfunktion {\displaystyle Z^{*}} Es gilt als erstes zu beachten, dass der Nennergrad nicht größer ist als der Zählergrad. {\displaystyle {\tfrac {b_{ij}x+c_{ij}}{(x-z_{i})^{j}(x-{\overline {z}}_{i})^{j}}}} ( heißen Partial- oder Teilbrüche 1. Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aber vermeiden, weil mit jeder komplexen Nullstelle z Der Wert eines bestimmten Integrals hängt von der Integrandenfunktion und den Integrationsgrenzen ab. {\displaystyle a_{ij}} ⊂ Ist für jede Polstelle eine Laurent-Reihen-Entwicklung der Funktion bekannt, so erhält man die Partialbruchzerlegung sehr einfach als Summe der Hauptteile dieser Laurent-Reihen. a N "Punkt vor Strich"). Online-Berechnung mit der Funktion partialbruchzerlegung des Ausdrucks partialbruchzerlegung((x^4)/(-1+x^2)) To embed this widget in a post, install the Wolfram|Alpha Widget Shortcode Plugin and copy and paste the shortcode above into the HTML source. Mit a = 1 und c = 2 (aus der Grenzwertmethode) (b lässt sich mit der Grenzwertmethode nicht bestimmen. ¯ {\displaystyle x_{0}=1} s = Diese Variablen werden bei der Eingabe erkannt: e = Euler'sche Zahl (2,718281…) pi , π = Kreiszahl (3,14159…) phi , Φ = der Goldene Schnitt (1,6180…) d, t, u und v werden intern für Substitutionen und partielle Integration benutzt (bitte diese Variable gegen eine andere austauschen) Ich freue mich auf deine Nachricht. i Setze Klammern! ∗ − x Das lineare Gleichungssystem können wir z. B. X i \frac{4x^2+9x-4}{(x-1)(x+2)^2} {\displaystyle a_{i}} Da es sich bei um eine einfache reelle Nullstelle handelt ist das zugehörige Polynom : Die beiden anderen Nullstellen sind einfach echt komplex und komplex konjugiert zueinander. \), Partialbruchbildung von {\displaystyle g} #1} a Der Integralrechner kann bestimmte Integrale und unbestimmte Integrale (Stammfunktionen) berechnen. ) auf den rationalen Funktionenkörper Alle Rechte vorbehalten. − Hier haben wir alles kompakt und anschaulich für dich aufbereitet. Integration durch nichtlineare Substitution. Beim Auffinden der Stammfunktionen von Partialbrüchen lassen sich sechs Fälle unterscheiden, je nachdem, ob der Zählergrad 0 oder 1 ist, ob die Polstellen, also die Nullstellen des Nenners, reell oder nicht reell sind und ob sie einfach oder mehrfach sind. 1 Wende die Methoden an, die in den folgenden Beispielen erklärt werden, um die Konstanten in den Zählern der Brüche zu finden. 1 nicht unbedingt reell sein, denn die reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen. gegeben ist, wobei der Grad von Die Integralrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis zur Bestimmung der Stammfunktion oder des Flächeninhalts unter einer Kurve. und auch die konjugiert komplexe Zahl Lässt sich bei der Integration gebrochenrationaler Funktionen der Funktionsterm nicht durch eine einfache Division in eine Summe umwandeln, so kann die Integration durch Partialbruchzerlegung angewendet werden. \definecolor{lightergray}{gray}{.675} Partialbruchzerlegung ist ein Werkzeug, dass in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung findet. linear unabhängig und bilden mit den Monomen ( z Dieser Weg steht im Zusammenhang mit dem Residuenkalkül. q und \newcommand{\arcsinpar}[1]{\sin^{-1}\!\left( #1\right)} R N Schreibe Dezimalbrüche mit Punkt statt Komma, also z. x + Online-Rechner - partialbruchzerlegung((x^4)/(-1+x^2 ... - Solumaths i ≤ Berechnung der Zerlegung eines rationalen Anteils in ... - Solumaths ∈ Dieser Satz lässt sich für Polynome über jedem anderen algebraisch abgeschlossenen Schiefkörper verallgemeinern. P Wenn du meinen Amazon-Link zum Einkaufen benutzt, verdiene ich als Amazon-Partner eine Provision. Matheübungen | \newcommand{\tanpar}[1]{\tan\left( #1\right)} Uh oh! 2 Der Integralrechner muss hierbei die Rangfolge verschiedener Operatoren berücksichtigen (z. p X Du hast also dann statt einem komplizierten Integral eine Summe aus mehreren deutlich einfacheren Integralen, die du einzeln berechnen kannst (Summenregel). . Alternativ kann man bis zu + Ich heiße Andreas Schneider, wurde 1989 in München geboren und lebte bis Sommer 2013 in Erding. x z p a Der Ansatz  liese sich auch mithilfe der sogenannten Zuhaltemethode bestimmen, da das Nennerpolynom nur einfache Nullstellen besitzt. {\displaystyle n} Hierbei werden z. ¯ i − Wolfram|Alpha ist ein großartiges Werkzeug zur Berechnung von Stammfunktionen und bestimmten Integralen, Doppel- und Dreifachintegralen und uneigentlichen Integralen. {\displaystyle {\tfrac {b_{i}+c_{i}x}{(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{j}}}} i Bei Partialbrüchen mit reellen Polstellen gibt es zwei Fälle, da der Zähler nur den Grad 0 haben kann. → q \dfrac{1}{(x+a)(x+b)(x+c)} &= \dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{x+b}+\dfrac{C}{x+c} \\[1.5ex] \text{wobei gilt}\;\;A &= \dfrac{1}{(b-a)(c-a)} \\[1.5ex] B &= \dfrac{1}{(a-b)(c-b)} \\[1.5ex] C &= \dfrac{1}{(a-c)(b-c)} Somit erhält man: ∫ x 3 − 5   x 2 + x + 4 x 2 − 7 x + 10   d x = ∫ ( x + 2 )   d x + ∫ 2 x − 2   d x + ∫ 3 x − 5   d x = x 2 2 + 2   x + 2   ln |   x − 2   | + 3   ln |   x − 5   | + C, ∫ 7   x 2 − 6   x + 3 x 3 − x 2 − x + 1   d x =. Find more Mathematics widgets in Wolfram|Alpha. Sinnvoll ist das Einsetzen der zuvor berechneten (reellen) Nullstellen, was sofort jeweils einen Koeffizientenwert liefert. Hier haben wir alles kompakt und anschaulich für dich aufbereitet. , Die Partialbruchzerlegung wird unter anderem zum Integrieren rationaler Funktionen benutzt. {\displaystyle Z^{*}} {\displaystyle R^{*}} kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ∈ i If you don't know how, you can find instructions. Dabei werden alle üblichen Integrationstechniken und sogar spezielle Funktionen unterstützt. Durch Ausprobieren findet man die erste Nullstelle . p(x)q(x) = (x−x1)a + (x−x2)b +. Maxima übernimmt die Berechnung der Integrale. der Ordnung i Für die Darstellung im Browser sorgt MathJax. multipliziert. Einfache Nullstellen, reell. x Dein wartet auf dich!hilft! Integration mittels Partialbruchzerlegung | Aufgabensammlung mit Lösun bis auf Konjugation verschiedenen komplexen Polstellen | Verfügbare Sprachen : fr|en|es|pt|de | {\displaystyle x_{i}} Zahlen | Zu Schritt 5: Die in Schritt 4 aufgestellte Gleichung wird nun auf beiden Seiten mit dem Nennerpolynom der rationalen Funktion multipliziert. ( , Die "Lösung überprüfen"-Funktion hat die schwierige Aufgabe, für zwei mathematische Ausdrücke zu bestimmen, ob diese äquivalent sind. − Man formt dabei den Funktionsterm so um, dass aus dem beliebig komplizierten Quotienten zweier Polynomfunktionen eine Summe aus möglicherweise vielen, aber dafür einfachen Summanden wird. ( verschiedenen reellen Polstellen Die Letztere lässt sich dann mithilfe der Schritte 2 bis 5 in Partialbrüche zerlegen. . a \), \( , und Partialbruchzerlegung · Schritt für Schritt + Beispiel Wenn es darum geht, über eine kompliziert aussehende, gebrochen rationale Funktion zu integrieren, dann ist es oft hilfreich, auf die Integration durch Partialbruchzerlegung zurückzugreifen. und das absolute Glied Null: j N Vorgehensweise. {\displaystyle N^{*}} Lösungsweg, so ist das mit einem einfachen Klick auf "Show steps" getan. Das dazu notwendige Programm wurde über mehrere Jahre entwickelt und ist in Maximas eigener Programmiersprache geschrieben. Gleichungen bestehenden linearen Gleichungssystem führt. Das ermöglicht eine sofortige Rückmeldung noch während der Eingabe der mathematischen Funktion. b = \), \( 1. 2 \int \frac{x+10}{x^2+5x-14}dx=\int -\frac{1}{3(x+7)}+\frac{4}{3(x-2)}dx=\left[-\frac{1}{3}ln|x+7|+\frac{4}{3}ln|x-2|\right] \). + "3.141". \definecolor{explaination}{RGB}{0, 166, 226} B. Diese lässt sich mithilfe der Polynomdivision zu einer quadratischen Gleichung vereinfachen. Das unbestimmte Integral von f(x), notiert als int f(x) dx, ist definiert als die Stammfunktion von f(x). In diesem Kapitel sollen verschiedene Ansätze zur Bestimmung der . . ∗ ) partialbruchzerlegung(`(x^2+x+1)/x`) `1+x+1/x` liefert eine Partialbruchzerlegung Beispiel - Koeffizientenvergleich ... Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit ) \). n Dazu wird ihre Differenz gebildet und mit Hilfe von Maxima möglichst stark vereinfacht. i a Über das Als Beispiel: Veranschaulichung (2x+3)/(x²-1) Sie wird in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit solchen Funktionen zu erleichtern. n \newcommand{\hilite}[1]{{ \textcolor{highlight} { { #1 }}}} Dann sehen die Partialbrüche etwas anders aus. Le calculateur permet de décomposer en éléments simples une fraction rationnelle. p Bitte lade anschließend die Seite neu. 0 {\displaystyle (x^{2}-1)=(x+1)(x-1)} ∗ Es besteht aus mehr als 17000 Codezeilen. 2 + Dabei entsteht eine ganzrationale und eine echt gebrochenrationale Funktion. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun. x Die Schritt für Schritt berechneten Stammfunktionen sind oftmals wesentlich kürzer und eleganter als die von Maxima. j Ansatz: also erhalten wir die Partialbruchzerlegung, Der Nenner hat hier die reelle Nullstelle ⁡ Wie man eine Partialbruchzerlegung durchführt und auf was du achten musst, siehst du Schritt für Schritt in unserem Video . Angelehnt an die Definition eines unechten Bruchs gilt: Eine gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, deren Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist, heißt unecht gebrochen. Handelt es sich bei der Nullstelle um eine einfache reelle Nullstelle, so ist ihr zugehöriger Partialbruch von der Form , wobei eine noch zu bestimmende Unbekannte darstellt. n Mathe-Übungsgenerator | Wir haben eine komplexe Nullstelle und eine einfache reelle Nullstelle. i = Hausaufgabenhilfe per WhatsApp. ⋅ Jeder Ansatz enthält somit genau Diesmal wird die Funktion jedoch in eine andere Form umgewandelt, so dass sie vom Computeralgebrasystem Maxima verstanden wird. \newcommand{\acos}[1]{\cos^{-1}\! Art, die Brüche Wenn du deine Funktion eingegeben hast, klicke auf "Los!". i Wir wählen \( x=\dfrac{3}{2} \). a x , wobei a Die Nullstellen des Nennerpolynoms lassen sich mithilfe der Mitternachtsformel berechnen. x \newcommand{\hide}[1]{{ \textcolor{lightergray} { \footnotesize{ #1 \newline}}}} x ) r z FAQ a j i {\displaystyle b_{ij}} Die eingegebene mathematische Funktion wird zunächst durch einen Parser analysiert. Zu ihnen gehört demzufolge der gemeinsame Partialbruch : In Schritt 4 den Ansatz aufzustellen ist nun ein Leichtes: Durch Multiplikation der Gleichung in Schritt 5 mit dem Nennerpolynom  erhält man: Der Koeffizientenvergleich liefert folgendes Gleichungssystem: Somit besitzt die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion folgende Form: Ist es das Ziel, die Stammfunktion einer rationalen Funktion zu finden, so kann es hilfreich sein, deren Partialbruchzerlegung zu betrachten. . Fahre mit der Maus darüber, um den Text anzuzeigen. Die Partialbruchzerlegung einer reellen rationalen Funktion Die Partialbruchzerlegung oder Partialbruchentwicklung ist eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen. i Wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, gibt es keine reelle Lösung. \newcommand{\arctanpar}[1]{\tan^{-1}\!\left( #1\right)} − 6\left ( {\color{highlight}\dfrac{3}{2}} \right )-16 &= A\left( 2\cdot {\color{highlight}\dfrac{3}{2}}-3\right) + B\left( {\color{highlight}\dfrac{3}{2}}+2\right)\\-7 &= 0+\dfrac{7}{2}B\\ B&=-2 Er hilft dir beim Lernen, indem er dir den kompletten Rechenweg anzeigt. Get the free "Partialbruchzerlegung" widget for your website, blog, Wordpress, Blogger, or iGoogle. -Vektorraums Damit erhalten wir: Dies wiederholen wir für B. Hier wählen wir \( x=-2 \). \newcommand{\br}[1]{\left( #1\right)} {\displaystyle K(X)} Partialbruchzerlegung: Vorgehen in Schritten einfach erklärt Nullstellen Beispiele Aufgaben mit Lösung StudySmarter Original p x {\displaystyle P} Ist im Integranden eines Integrals eine verkettete Funktion und außerdem noch die Ableitungsfunktion der inneren... Während beim Differenzieren elementarer Funktionen wieder elementare Funktionen entstehen, gibt es zahlreiche... Während die Differenzialrechnung in der Untersuchung des Tangentenproblems wurzelt, war die Beschäftigung mit... Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. [3], Verallgemeinerung auf rationale Funktionenkörper, Facharbeit: Partialbruchzerlegung und ihre Anwendung bei der Integration, Online-Rechner und kommentierte interaktive Beispiele (Arndt Brünner), Partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung, https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Partialbruchzerlegung&oldid=219980018, „Creative Commons Attribution/Share Alike“, Ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad, so, Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so kann man die Funktion, Anschließend betrachtet man die Nullstellen von, Für jede einfache nicht-reelle Nullstelle. \), \( {\displaystyle a_{ij}} Nehmen wir den Bruch \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \), wobei P(x) und Q(x) keine gemeinsamen Teiler ausser 1 und -1 besitzen. Als Amazon-Partner verdiene ich an qualifizierten Käufen. {\displaystyle N^{*}} Dazu wird auf der linken Seite der Nenner in seine Linearfaktoren zerlegt: Anschließend wird einer der Faktoren zugehalten. #1} Für das Anzeigen des Rechenwegs werden dieselben Integrationstechniken angewendet, die auch ein Mensch anwenden würde. i {\displaystyle z_{i}} 2 Partialbruchzerlegung. Auf der einen Seite bleibt dann nur noch das Zählerpolynom dieser Funktion stehen. Beide Gelehrten nutzen diese Methode zur Integration von gebrochenrationalen Funktionen. + Les fractions rationnelles sont particulièrement utilisées dans le cadre de la recherche de primitives. ( R ∗ , x i Der Integralrechner berechnet online Stammfunktionen und Integrale beliebiger Funktionen – kostenlos! ) ∗ 2 Numerischen Folgen | 0 K ∗ Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. $-1$ ist eine einfache reelle Nullstelle $\Rightarrow$ $\frac{A}{x + 1}$, $x^2 + 2x + 4$ ist ein einfacher quadratischer Term $\Rightarrow$ $\frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4}$, $$ \frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 4} $$, $$ \frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4} = \frac{A(x^2 + 2x + 4)}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{(Bx + C)(x+1)}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} $$, $$ \phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}} = \frac{A(x^2 + 2x + 4)+(Bx + C)(x+1)}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} $$, $$ \phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}} = \frac{Ax^2 + 2Ax + 4A + Bx^2 + Bx + Cx + C}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} $$, $$ \phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}} = \frac{Ax^2 + Bx^2 + 2Ax + Bx + Cx + 4A + C}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} $$, $$ \phantom{\frac{5x^2 + 8x + 9}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4}} = \frac{x^2(A+B) + x(2A+B+C) + (4A + C)}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} $$, $$ \frac{{\color{red}5}x^2 + {\color{green}8}x + {\color{blue}9}}{x^3 + 3x^2 + 6x + 4} = \frac{x^2({\color{red}A+B}) + x({\color{green}2A+B+C}) + ({\color{blue}4A + C})}{(x + 1)(x^2 + 2x + 4)} $$, $$ \begin{align*} {\color{red}A + B} &= {\color{red}5} \\ {\color{green}2A + B + C} &= {\color{green}8} \\ {\color{blue}4A + C} &= {\color{blue}9} \end{align*} $$, oder abgekürzt als erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben, $$ \left( \begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 1 & 8 \\ 4 & 0 & 1 & 9 \end{array} \right) $$.

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